Xác suất tung đồng xu: công thức, bảng và máy tính
Tung một đồng xu có 2 kết quả, mỗi mặt 1/2. Tung n lần có 2ⁿ kết quả, xác suất đúng k mặt ngửa là C(n,k)/2ⁿ: 3 lần đều ngửa là 1/8, tung 10 lần đúng 5 ngửa chỉ 24,6%. Bài có công thức, bảng 2–3 xu, biểu đồ 10 lần, bài tập mẫu và máy tính.
- Đúng k mặt ngửa P(X = k)
- Tối đa k mặt ngửa P(X ≤ k)
- Ít nhất k mặt ngửa P(X ≥ k)
- Tất cả đều ngửa (n lần liên tiếp)
- Số kết quả có thể xảy ra (2ⁿ)
- Kỳ vọng số mặt ngửa · độ lệch chuẩn
- ·
Tóm tắt nhanh
- Tung 1 đồng xu: 2 kết quả, mỗi mặt 1/2 = 50%.
- Tung n lần (hoặc n đồng xu): 2ⁿ kết quả đồng khả năng.
- Xác suất được đúng k mặt ngửa: C(n, k) / 2ⁿ.
- 3 lần đều ngửa: 1/8 = 12,5%. 10 lần đúng 5 ngửa: chỉ 24,6%.
- Đồng xu thật tung bằng tay hơi thiên về mặt lúc bắt đầu (≈50,8–51%); đồng xu số là 50% đúng.
Tung 1 đồng xu có bao nhiêu kết quả?
Tung một đồng xu cân đối có 2 kết quả: sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian mẫu là Ω = {S, N}. Hai kết quả đồng khả năng nên mỗi mặt có xác suất 1/2.
Trường hợp đồng xu dựng đứng gần như không xảy ra và bị loại khỏi mô hình. Trong bài tập, “đồng xu cân đối” hay “đồng xu công bằng” đều nghĩa là hai mặt có cùng xác suất.
Công thức xác suất tung n lần
Mỗi lần tung là một phép thử độc lập. Tung n lần cho 2ⁿ kết quả, tất cả đồng khả năng. Số mặt ngửa X tuân theo phân phối nhị thức với p = 1/2.
P(X = k) = C(n, k) / 2ⁿ, trong đó C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) là số cách chọn k lần ngửa trong n lần.
Ví dụ: tung 3 lần, được đúng 2 ngửa. C(3, 2) = 3, nên P = 3/8 = 37,5%. Ba cách đó là NNS, NSN, SNN.
Sơ đồ cây cho thấy vì sao NS và SN là hai kết quả khác nhau: “một sấp một ngửa” có xác suất 2/4, gấp đôi “hai ngửa”. Đây là lỗi thường gặp nhất khi đếm kết quả.
Bảng xác suất cho 2 và 3 đồng xu
| Số mặt ngửa | Kết quả | Xác suất |
|---|---|---|
| 0 | SS | 1/4 = 25% |
| 1 | NS, SN | 2/4 = 50% |
| 2 | NN | 1/4 = 25% |
| Số mặt ngửa | Kết quả | Xác suất |
|---|---|---|
| 0 | SSS | 1/8 = 12,5% |
| 1 | NSS, SNS, SSN | 3/8 = 37,5% |
| 2 | NNS, NSN, SNN | 3/8 = 37,5% |
| 3 | NNN | 1/8 = 12,5% |
Tung 3 đồng xu cùng lúc và tung 1 đồng xu 3 lần cho cùng bảng xác suất. Bạn có thể tự đếm bằng chế độ tung 3 đồng xu, có bảng thống kê 8 tổ hợp.
Tung 10 lần: phân phối số mặt ngửa
Nhiều người kỳ vọng tung 10 lần sẽ ra đúng 5 ngửa. Thực tế xác suất đó chỉ 24,6%. Kết quả từ 3 đến 7 ngửa chiếm 89%, còn 0 hoặc 10 ngửa chỉ 0,1% mỗi bên.
| k ngửa | Phân số | Xác suất |
|---|---|---|
| 0 | 1/1024 | 0.1% |
| 1 | 10/1024 | 1.0% |
| 2 | 45/1024 | 4.4% |
| 3 | 120/1024 | 11.7% |
| 4 | 210/1024 | 20.5% |
| 5 | 252/1024 | 24.6% |
| 6 | 210/1024 | 20.5% |
| 7 | 120/1024 | 11.7% |
| 8 | 45/1024 | 4.4% |
| 9 | 10/1024 | 1.0% |
| 10 | 1/1024 | 0.1% |
Kỳ vọng số mặt ngửa là n/2 = 5, độ lệch chuẩn là √n/2 ≈ 1,58. Muốn tỉ lệ tiến sát 50%, hãy thử mô phỏng 10.000 hay 100.000 lượt bằng máy tính ở đầu trang: đó là luật số lớn.
Xác suất ra chuỗi liên tiếp
Xác suất tung k lần đều ngửa là 1/2ᵏ. Xác suất “k lần cùng một mặt” (đều ngửa hoặc đều sấp) gấp đôi: 1/2ᵏ⁻¹.
| k | Phân số | Xác suất |
|---|---|---|
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 6 | 1/64 | 1.562% |
| 7 | 1/128 | 0.7812% |
| 8 | 1/256 | 0.3906% |
| 10 | 1/1024 | 0.09766% |
Chuỗi dài không hiếm như ta nghĩ. Trong 100 lần tung, chuỗi cùng mặt dài nhất thường vào khoảng 6–7 lần; gặp chuỗi 5 là chuyện bình thường, không phải dấu hiệu đồng xu bị lỗi.
Đồng xu thật có đúng 50/50 không?
Đồng xu vật lý
- Diaconis, Holmes, Montgomery (2007): xu tung và bắt bằng tay có khoảng 51% rơi cùng mặt lúc bắt đầu.
- Bartoš và cộng sự (2023): 350.757 lần tung thực tế, 50,8% cùng mặt ban đầu.
- Thiên lệch nhỏ, chỉ thấy khi tung hàng nghìn lần và biết mặt xuất phát.
Đồng xu số (tungdongxu.com)
- Dùng bộ sinh số ngẫu nhiên mật mã của trình duyệt.
- Xác suất mỗi mặt đúng 50%, không phụ thuộc mặt trước đó.
- Phù hợp cho bài tập, thống kê và quyết định cần công bằng.
Kết luận thực dụng: với vài lần tung, xu thật vẫn đủ công bằng. Khi cần dữ liệu thống kê hoặc không muốn ai lợi dụng mặt xuất phát, dùng đồng xu số.
Nguỵ biện con bạc
Tung 5 lần đều ngửa, lần thứ 6 có “đến lượt” sấp không? Không. Đồng xu không có trí nhớ; xác suất lần 6 vẫn là 50%. Niềm tin “sắp đảo chiều” gọi là nguỵ biện con bạc.
Điều duy nhất đúng là về lâu dài tỉ lệ sẽ tiến gần 50%, vì số lần tung tăng chứ không phải vì đồng xu “bù” lại. Sau 5 ngửa, kỳ vọng của 1.000 lần tiếp theo vẫn là 500 ngửa.
Bài tập mẫu có lời giải
- Tung 2 đồng xu, tính xác suất có ít nhất một mặt ngửa. Biến cố đối là “không ngửa nào” = SS, xác suất 1/4. Vậy P = 1 − 1/4 = 3/4.
- Tung 1 đồng xu 4 lần, tính xác suất đúng 2 ngửa. C(4, 2) = 6, tổng kết quả 2⁴ = 16. P = 6/16 = 3/8.
- Tung 3 đồng xu, tính xác suất số mặt ngửa nhiều hơn số mặt sấp. Cần 2 hoặc 3 ngửa: 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
Câu hỏi thường gặp
Tung 1 đồng xu 1 lần có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Hai kết quả: sấp hoặc ngửa. Đây là câu hỏi mở đầu chương xác suất ở lớp 8.
Tung 2 đồng xu có bao nhiêu kết quả?
Bốn kết quả: NN, NS, SN, SS. Nếu chỉ đếm số mặt ngửa thì có ba trường hợp 0, 1, 2 nhưng chúng không đồng khả năng.
Xác suất tung 3 lần đều ngửa là bao nhiêu?
1/8 = 12,5%. Xác suất được ít nhất một mặt ngửa trong 3 lần là 7/8.
Tại sao gọi là phân phối nhị thức?
Vì mỗi phép thử chỉ có hai kết quả (nhị) và ta đếm số lần thành công trong n phép thử độc lập. Hệ số C(n, k) chính là hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Đồng xu số trên trang này có thể bị “lái” không?
Không. Kết quả được chọn từ số ngẫu nhiên mật mã trước khi hoạt cảnh chạy. Xem cách công cụ hoạt động.
Nguồn tham khảo
- Sách giáo khoa Toán 8 và Toán 10 (chương trình 2018), chương xác suất của biến cố.
- Diaconis P., Holmes S., Montgomery R. (2007). Dynamical Bias in the Coin Toss. SIAM Review 49(2): 211–235.
- Bartoš F. và cộng sự (2023). Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. arXiv:2310.04153.